polinomios

Tuesday, July 04, 2006

MaTeMaTiCa


1.- ¿Que es el algebra?

El álgebra es una rama de las Matemáticas que estudia la forma de resolver las ecuaciones

Una de las características del álgebra es que utiliza símbolos para representar números.

El álgebra actual trata con entidades mas generales que los números y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritméticas).

Etimológicamente, proviene , con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).


Historia: El álgebra tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.


El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el teorema de Pitágoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes Herón y Diofante. Arquímedes se basó en las matemáticas en su tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento, como principales trabajos tenemos al análisis diofántico y la obra de Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra hasta ese entonces.


Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos matemáticos y sus extensiones,y parte de la geometría, la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hipérbola, círculo, ahora incluidas en el álgebra bilineal.


El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de las matemáticas como la lógica (álgebra de Boole), el análisis matemático y la topología (álgebra topológica).

Citas y referncias bibliograficas

definicion de algebra

http://personal.redestb.es/javfuetub/algebra.htm

historia del algebra

http://es.wikipedia.org/wiki/Álgebra

2.- ¿Qué es una expresión algebraica?

Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos.

Clases de expresiones algebraicas:

1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio.

Ej.: 3x2

4x4y2

Como se puede ver es una sola expresión con parte numérica y parte literal

8a3b2c

En este caso la letra c no tiene exponente, cuando esto suceda se asume que dicho exponente es 1, así: 8a3b2c1

m2n3

En este caso aparentemente no hay una parte literal, cuando esto suceda nosotros sabremos que hay un 1, así: 1m2n3

2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio.

Ej.: 2x2 + 3xy

3x2y +5x3y2

Este es un polinomio de dos términos o binomio. Aunque las partes literales aparentemente son iguales, estas son diferentes, pues los exponentes no son iguales.

3x4 +xyz -2y2z

Ahora tenemos un polinomio de tres términos o trinomio.

a3 -a2b +2ab2 -5b3

Otro ejemplo de polinomio.

3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.

Ej.: 5x2 + 4y5 - 6x2y

4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.

Polinomio es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:

1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado

.

2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.

3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.

Expresiones algebraicas equivalentes:

Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico

TERMINO ALGEBRAICOS

En un término hay que distinguir los siguientes elementos:

  • El factor literal, que es la letra con su exponente. En el término 6a2 el factor literal es a2

  • El coeficiente, que es el factor numérico, indica las veces que el factor literal se repite como sumando. En el término 6a2 el coeficiente es 6. Notemos que también puede ser una letra en el término mx el coeficiente es m.

  • El signo, que precede al término, que puede ser + o -.

Una expresión:

que contiene un término se llama monomio, si contiene dos términos se habla de binomio, de trinomio si contiene tres términos y si contiene más términos se habla de polinomio.

Las expresiones algebraicas establecen relaciones matemáticas y permiten describir situaciones especiales o fenómenos físicos, de manera sucinta y clara. La idea de su uso es simplificar la transmisión de información.

CITAS Y REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Significado de expresiones algebraicas y clases, términos algebraicos

http://html.rincondelvago.com/expresiones-algebraicas_monomios-y-polinomios_ecuaciones.html

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/expresion_desarrollo.htm

3- ¿Qué es polinomio y sus clases?

Polinomios

Un polinomio es una suma de términos llamados monomios.
Un monomio es el producto de un coeficiente (un número real), una variable (casi siempre x o y) elevada a un exponente (entero positivo).

Clasificación de los polinomios:

los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos. Un polinomio que tiene un solo término se llama monomio. Si el polinomio tiene dos términos se llama un binomio y si tiene tres términos se llama trinomio. Los polinomios formados por más de tres términos no reciben ningún nombre en especial, simplemente son polinomios con la cantidad de términos que contiene.

  • Monomio (un término):

5 x2 En este caso el coeficiente es 5, la variable es x el exponente 2

  • Binomio (dos términos):

6 x7 - 2

  • Trinomio (tres términos):

3 x5 + 4 x3 - x2

Ejemplos:

Clasificación de un polinomio

Monomios

Binomios

Trinomios

3x

7x - 4

n2+ 3n + 2n

25

3a + 5b

3x4 –x3 + 5x2

Componentes de un polinomio:

1) Término: Un término es una parte de una expresión algebraica. Los términos se separan entre sí por los signos de suma (+) o resta (-).

2) Coeficiente: El coeficiente numérico de un término de un polinomio es el factor numérico del mismo.

3) Término constante: Es el coeficiente numérico que no contiene variable.

En siguiente polinomio 5x2 + 3x - 8 tiene tres términos. Los coeficientes numéricos son 5, 3 y -8, pero -8 es el término constante.

CITAS Y REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Definición de polinomios y clases de polinomios

http://dinamica1.fciencias.unam.mx/Preparatoria8/polinomi/index.html#definicion

Clasificación de polinomios y ejemplos, componentes de un polionomio

http://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/polinw.htm

4- ¿Cómo determinar el grado relativo y absoluto de un monomio y/o polinomio?

. Grado de un monomio:

a) En un monomio:

a.1) Grado Relativo: Veamos unos ejemplos para comprenderlo mejor:

4a3b2

En este caso tenemos dos letras, entonces tendremos dos grados relativos, uno con respecto a la letra a y otro con respecto a la letra b. En ambos casos el grado relativo no será otra cosa que el exponente que afecta a cada letra. La parte numérica no tiene ninguna importancia.
GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

x5y3z

En este caso debemos recordar que la letra sin exponente llevara un 1: x5y3y1
GR(x) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
GR(y) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(z) = 1 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 1)

a.2) Grado Absoluto: Trabajaremos en los mismos ejemplos del caso anterior para comprender mejor:

4a3b2

El Grado Absoluto de un monomio, no es otra cosa que la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras. En este caso sumaremos el exponente de la letra a con el exponente de la letra b:
GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)

x5y3z

Recordamos que el exponente de la letra y es 1: x5y3y1
GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)


grados de un polinomio

Grado Relativo: Veamos un ejemplo para ver mejor como se halla el Grado Relativo:

4a3b2 +5a5b

En este primer ejemplo tenemos un binomio. Nosotros ya sabemos que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión algebraica. Entonces tendremos dos grados relativos.

4a3b2 +5a5b1

Antes de seguir trabajando completo los exponentes que "no se ven"

4a3b2 +5a5b1

Estamos viendo que para el caso de la letra a, tenemos el exponente 3 y el exponente 5. Nosotros tomaremos como Grado Relativo con respecto a la letra a al mayor de estos exponentes (en este caso 5)
GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)

4a3b2 +5a5b1

Para la letra b hacemos lo mismo, es decir, comparamos los exponentes que afectan a dicha letra (en este caso los exponentes son 2 y 1) y tomamos el mayor como Grado Relativo (en este caso 2).
GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

Grado Absoluto: Sigamos con el mismo ejemplo:

4a3b2 +5a5b

Este ejemplo es un binomio. Sabemos que tendremos un solo Grado Absoluto.

4a3b2 +5a5b1

Completo los exponentes que "no se ven" con 1.

4a3b2 +5a5b1

Trabajo independientemente cada termino y sumo los exponentes, en el primer termino tengo los exponentes 3 y 2, mismos que sumados dan 5.

4a3b2 +5a5b1

Trabajo ahora con el segundo termino, ahí están los exponentes 5 y 1, mismos que sumados dan 6.

4a3b2 +5a5b1

Me quedare como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor, en este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6.
GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)

CITAS BIBLIOGRÁFICAS

Esta página fue visitada el día 5 de julio:

grados de un monomio y un polinomio

http://kimlorex77.galeon.com/tarea.htm

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#grados

5.- ¿Qué son polinomios especiales y cuales son?

Polinomios completos: es aquel polinomio que tienes todos sus grados en forma consecutiva desde la mayor hasta el cero o viceversa o en forma desordenada.

Polinomios homogéneos: son aquellos que constan de términos monomios tienen igual grado.

Polinomios heterogéneos: es aquel polinomio que consta de una variable llamada ordenatriz la cual los exponentes de dicha variable van aumentando o disminuyendo según sus grados.

Polinomios idénticos: son aquellos polinomios que tienen igual coeficiente y parte literal.

Polinomios idénticamente nulos: es aquel polinomio que tiene como coeficientes de todos sus términos el 0.s

6.- ¿Qué operaciones se pueden realizar con los polinomios y como?

Operaciones con polinomios:

Adición

Para sumar polinomios, es necesario que sean monomios y términos semejantes, y el resultado es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma de coeficientes.Ejemplos:

· 5ax4y3 - 2ax4y3 = 3ax4y3

· 4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5
+--- - 5x3 --- x2 +2x _________________
4x4 + 3x3 + 2x2 + -----5

CITAS BIBLIOGRÁFICAS

· http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinomi.htm

· http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

· http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#masmenos

· Esta pagina fue visitada el 5 de julio siendo su autor García Chico, Fco Javier
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2ap01/apm2_24b_sistemas_de_ecuaciones.html

· Web Design by: Melissa Murrias. Concepto de polinomios.
http://ponce.inter.edu/cremc/polinomio1.htm

Sustracción:

Para calcular la diferencia o resta de los dos polinomios, se calcula la suma. Ejemplo:

· (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( - 5x3 + x2 - 2x ) = 4x4 - 7x3 + 4x2 - 4x + 5

CITAS BIBLIOGRÁFICAS

· http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

· http://html.rincondelvago.com/expresiones-algebraicas_monomios-y-polinomios_ecuaciones.html

· Web Design by: Melissa Murrias. Concepto de polinomios.
http://ponce.inter.edu/cremc/polinomio1.htm

Multiplicación

Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados.

Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4

Esta operación es similar a la multiplicación de un monomio por un polinomio, se aplica también la ley distributiva de la multiplicación. Ejemplo:

(x - 6)(x3 + y) = x(x3 + y) - 6(x3 + y) --> x(x3 + y) - 6(x3 + y) = x4 + xy - 6x3 - 6y

CITAS BIBLIOGRÁFICAS

· http://www.galeon.com/student_star/polmul.html

· Web Design by: Melissa Murrias. Concepto de polinomios.
http://ponce.inter.edu/cremc/polinomio1.htm

· http://html.rincondelvago.com/expresiones-algebraicas_monomios-y-polinomios_ecuaciones.html

· García Chico, Fco JavierÁlgebra. Multiplicación de polinomios

· http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2ap01/apm2_24b_sistemas_de_ecuaciones.html

7.- ¿Qué son productos notables y explicar cada caso? Incluyendo las identidades de

legendre

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas".

  1. Binomio de Suma al Cuadrado

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

  1. Binomio Diferencia al Cuadrado

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

  1. Diferencia de Cuadrados

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

  1. Binomio Suma al Cubo

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

= a3 + b3 + 3 ab (a + b)

  1. Binomio Diferencia al Cubo

( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

  1. Suma de dos Cubos

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

· Diferencia de Cubos

a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

· Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

· Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

· Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

· Producto de dos binomios que tienen un término común

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

























citas y referencias bibliograficas

esta pagina fue encontrada el dia 4 de julio del 2006

http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#DEFIN

8.- aplicaciones y problemas

1) Dados los polinomios:

P(x) = 4.x2 - x + 2

Q(x) = x3 + x - 1

R(x) = 2.x - 1

Hallar:

a) P(x) + Q(x)

b) P(x) + R(x)

c) Q(x).R(x)

d) P(x).Q(x)

e) P(x): R(x)

f) Q(x): R(x)

2) Dados los siguientes polinomios:

P(x) = x2 - 1

Q(x) = x + 1

R(x) = (x - 1)2

S(x) = (x + 1)2

Hallar:

a) P(x)/Q(x)

b) P(x) + R(x)/S(x)

c) [P(x)/R(x)]

d) [P(x) - Q(x)]:[R(x) + S(x)]

e) [Q(x) 2 - R(x)]: P(x)

f) [P(x) - Q(x)] 2 - [R(x) - S(x)] 2

2) Restar los siguientes polinomios:

POLINOMIOS

3) Efectuar las siguientes multiplicaciones:

POLINOMIOS

4.- Mi capital esta en las siguientes bancos :

Banco A : ( x5 – 5x2 + 2) soles

Banco B : ( 6x3 + 7x6 – 6) soles

Banco C : (2x4 – 2x2 + x ) soles

Banco D : ( - 2x4 – 6x3 + 5) soles

Si quisiera repartir entre (x2 + x + 1) personas entre partes iguales. ¿cuánto le tocará a cada uno?

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